Question

证明下列不等式．
（1）求证：当a、b、c为正数时，（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）≥9．
（2）已知n≥0，试用分析法证明：

n+2

-

n+1

＜

n+1

-

n

．

Answer 1

分析：（1）将不等式左边展开，根据a、b、c为正数，利用基本不等式可证得（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）≥9成立；
（2）移项将不等式化为

n+2

+

n

＜2

n+1

，两边平方整理后，可得n+1＞

n2+2n

，比较（n+1）²与n²+2n的大小可得答案．

解答：证明：（1）左边=3+(

a

b

+

b

a

)+(

c

b

+

b

c

)+(

a

c

+

c

a

)
因为：a、b、c为正数
所以：左边≥3+2

a b • b a

+2

c b • b c

+2

a c • c a

=3+2+2+2=9
∴（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）≥9
（2）要证

n+2

-

n+1

＜

n+1

-

n

成立，
需证

n+2

+

n

＜2

n+1

需证(

n+2

+

n

)2＜(2

n+1

)2
需证n+1＞

n2+2n

需证（n+1）²＞n²+2n
需证n²+2n+1＞n²+2n，
只需证1＞0
因为1＞0显然成立，所以原命题成立

点评：本题考查的知识点是不等式的证明，其中（1）考查的知识点是基本不等式，（2）考查的知识点是分析法证明．