Question

已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长依次为a，b，c，若cosA=

3

4

，cosC=

1

8

．
（Ⅰ）求cos B的值；    
（Ⅱ）若|

AC

+

BC

|=

46

，求BC边上中线的长．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,同角三角函数间的基本关系

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）A，C为三角形内角，先求出sinA，sinC，由cosB=cos[π-（A+C）]展开即可求出cos B的值；
（Ⅱ）先求出sinB，由正弦定理和已知可求出a，b，c的值，再由余弦定理可求BC边上中线的长．

解答： 解：（ I ）依题设：sinA=

1-cos2A

=

1-( 3 4 )2

=

7

4

，
sinC=

1-cos2C

=

1-( 1 8 )2

=

3 7

8

，
故cosB=cos[π-（A+C）]
=-cos （A+C）
=-（cosAcosC+sinAsinC）
=-（

3

32

-

21

32

）
=

9

16

．
（ II ） 由（ I ）知：sinB=

1-cos2B

=

1-( 9 16 )2

=

5 7

16

，再由正弦定理易得：

a

4

=

b

5

=

c

6

，
不妨设：a=4k，b=5k，c=6k，k＞0．故知：|

AC

|=b=5k，|

BC

|=a=4k．
依题设知：|

AC

|²+|

BC

|²+2|

AC

||

BC

|cosC=46⇒46k²=46，又k＞0⇒k=1．
故△ABC的三条边长依次为：a=4，b=5，c=6．
若设BC的中点为D，由余弦定理得：AD²=6²+2²-2×6×2cosB=40-2×6×2×

9

16

=

53

2

．
故BC边上的中线长为：

106

2

．
【注】本小题还可通过求|

AB

+

AC

|来解答．

点评：本题主要考察了两角和与差的余弦函数，同角三角函数间的基本关系，正弦定理余弦定理的综合应用，考察学生的计算能力，属于基础题．