Question

8．设P_n=（1-x）^2n-1，Q_n=1-（2n-1）x+（n-1）（2n-1）x²，x∈R，n∈N^*
（1）当n≤2时，试指出P_n与Q_n的大小关系；
（2）当n≥3时，试比较P_n与Q_n的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）分n=1和n=2两种情况进行解答；
（2）分类讨论：x=0，x＞0和x＜0三种情况．利用复合函数的单调性进行解答即可．

解答 解：（1）当n=1时，P_n=1-x，Q_n=1-x，则P_n=Q_n；
当n=2，x=0时，P_n=1，Q_n=1，则P_n=Q_n；
当n=2，x＞0时，P_n=（1-x）³=1-3x+3x²-x³，Q_n=1-3x+3x²，则P_n-Q_n=-x³＜0，所以P_n＜Q_n；
当n=2，x＜0时，P_n-Q_n=-x³＞0，所以P_n＞Q_n；
（2）当n≥3时，①当x=0时，P_n=Q_n；
②当x≠0时，令F（x）=1-（2n-1）x+（n-1）（2n-1）x²，
则F′（x）=-（2n-1）（1-x）^2n-2+（2n-1）-2（n-1）（2n-1）x，
F″（x）=（2n-1）（2n-2）（1-x）^2n-3-2（n-1）（2n-1）=（2n-1）（2n-2）（1-x）^2n-3-1．
当x＞0时，F″（x）＜0．F″（x）单调递减；
当x＜0时，F″（x）＞0．F″（x）单调递增；
∴F′（x）＜F′（0）=0，
∴F（x）单调递减；
当x＞0时，F（x）＜F（0）=0，
当x＜0时，F（x）＞F（0）=0，
∴当x＞0时，P_n＜Q_n．
当x＜0时，P_n＞Q_n．

点评 本题考查了不等式比较大小．
总结：不等式大小比较的常用方法．
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．