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    已知双曲线C：=1(a＞0,b＞0)，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且||、||、||成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.

    （1）求证：·=·；

    （2）若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线离心率e的取值范围.

    (1)证明：欲证·=·,只需证·（-）=0，即证·（+）=·=0，即证⊥.∵||2=||||，∴a2=||c.

    ∴||=.∴A(,0).

    ∵PF⊥OP,∴lFP:y=-(x-c).

    由解得.

    ∴⊥.

    ∴原命题得证.

    (2)解析：若l与双曲线两支各有一交点，则由渐近线性质得kFP＞-,即-＞-.∴a2＜b2=c2-a2.

    ∴2a2＜c2.∴e=＞.


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