Question

（2011•湖北模拟）已知函数f （x）=（

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）^x-log₂x，正实数a，b，c是公差为负数的等差数列，且满足f（a）f（b）f（c）＜0，若实数d是方程f （x）=0的一个解，那么下列四个判断：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c．其中有可能成立的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：f （x）=（

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）^x-log₂x是由y=(

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)x 和y=-log₂x两个函数的复合函数，每个函数都是减函数，所以，复合函数f （x）=（

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）^x-log₂x为减函数．正实数a，b，c是公差为正数的等差数列，0＜c＜b＜a，f（a）f（b）f（c）＜0，则f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，或者f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0，所以可能①②③④．

解答：解：f （x）=（

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）^x-log₂x是由y=(

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)x 和y=-log₂x两个函数的复合函数，
每个函数都是减函数，
所以，复合函数f （x）=（

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）^x-log₂x为减函数．
∵正实数a，b，c是公差为负数的等差数列，
∴0＜c＜b＜a，
∵f（a）f（b）f（c）＜0，
则f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，
或者f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0，
综合以上两种可能，
恒有 f（a）＜0．
∵实数d是方程f （x）=0的一个解，
∴f（d）=0，
∴f（a）＜f（d），∴a＞d，
而d与b，c的关系不确定，
∴①②③④均有可能成立．
故选D

点评：本题考查指数函数的图象和性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的单调性的灵活运用．