Question

如图，在正方体中，分别是的中点.

（1）证明：；

（2）求异面直线所成的角；

（3）证明：.

 

 

 

 

Answer 1

答案：
解析：

解  （1）∵多面体AC1是正方体， ∴AD⊥面DC1. 又∵D1F平面DC1， ∴AD⊥D1F.（……3分） 用向量做的酌情给分 （2）如图，取AB的中点G，连结A1G，FG. 因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等， 所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形， A1G∥D1F。设A1G与AE相交于点H， 则∠AHA1（或其补角）是AE与D1F所成的角.（……5分） 因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90，即直线AE与D1F所成角为直角.（……6分） 用向量做的酌情给分 （3）由（1）知AD⊥D1F，由（2）知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1。（……9分） 方法2、不妨设正方形的边长为建立空间坐标系 O—如图，则D(0,0,0),A,A1,, ,, (3) (2)又 并且,所以 (3)同方法1.用基向量的根据同步标准给分