Question

（2011•西安模拟）某同学在利用描点法画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，0＜ω＜2，|φ|＜

π

2

的图象时，列出的部分数据如下表：

x	0	1	2	3	4
y	1	0	1	-1	-2

经检查，发现表格中恰好有一组数据计算有误．根据以上信息可知f(

13

4

)的值是

-

2

．

Answer 1

分析：先由（0，1），（2，1）两组的数据的对称轴可知对称轴x=1，且可排除（1，0）更改为（1，A）代入可得，再根据（2，1），（3，-1）可得函数的一个对称中心(

5

2

，0)，根据正弦函数相邻对称轴与对称中心距离为

T

4

这一性质可求ω，进一步求∅，A，即可求出函数的解析式，然后求出f(

13

4

)．

解答：解：由题意可知（0，1），（2，1）关于对称轴对称，且对称轴x=1，
由三角函数的对称性可知，正弦函数在对称轴处取得最大值，且过（1，A），
从而可得第二組（1，0）错误
把（1，A）代入可得，ω+∅=

π

2

（2，1），（3，-1）关于(

5

2

，0)对称，所以可得(

5

2

，0)是函数的对称轴x=1相邻一个对称中心
从而函数的周期T=4×(

5

2

-1)=6，根据周期公式T=

2π

ω

=6，∴ω=

π

3

，∅=

π

6

函数f（x）=Asin(

π

3

x+

π

6

)
把函数图象上的点（0，1）代入函数解析式可得Asin

π

6

=1，∴A=2
故函数的解析式为：y=2sin(

π

3

x+

π

6

)，
所以f(

13

4

)=2sin(

π

3

×

13

4

+

π

6

)=2sin（π+

π

4

）=-

2

．
故答案为：-

2

．

点评：本题主要考查了利用正弦函数的对称性（轴对称、中心对称）求解函数的解析式，解决本题的关键是熟练掌握三角函数性质，要灵活运用三角函数的性质．