Question

如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AB²=DE•BC；
（2）若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．

Answer 1

分析：对于（1）求证：AB²=DE•BC，根据题目可以判断出梯形为等腰梯形，故AB=CD，然后根据角的相等证△CDE相似于△BCD，根据相似的性质即可得到答案．
对于（2）由BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．根据弦切公式可得PC²=PD•PB，然后根据相似三角形边成比例的性质求出PD和PB代入即可求得答案．

解答：解：（1）∵AD∥BD
∴AB=DC，∠EDC=∠BCD，
又PC与⊙O相切，∴∠ECD=∠DBC，
∴△CDE∽△BCD，∴

DC

BC

=

DE

DC

，
∴CD²=DE•BC，即AB²=DE•BC．
（2）由（1）知，DE=

AB2

BC

=

62

9

=4，
∵△PDE∽△PBC，
∴

PD

PB

=

DE

BC

=

4

9

．
又∵PB-PD=9，
∴PD=

36

5

，PB=

81

5

．
∴PC2=PD•PB=

36

5

×

81

5

=

542

52

．
∴PC=

54

5

．

点评：此题主要考查由相似三角形的性质解三角形的一系列问题，其中应用到弦切公式，题目属于平面几何的问题，涵盖的知识点比较多，有一定的技巧性，属于中档题目．