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    定义在D上的函数f（x），如果满足；对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=1+a•2x+4x，g（x）=
    1-m•2x1+m•2x
    ．
    （1）当a=1时，求函数f（x）在（0，+∞）上的值域，并判断函数f（x）在（0，+∞）上是否为有界函数，请说明理由；
    （2）若函数f（x）在（-∞，0]上是以3为上界的函数，求实数a的取值范围；
    （3）若m＞0，求函数g（x）在[0，1]上的上界T的取值范围．
    分析：（1）利用换元法得到函数的表示式，根据二次函数的性质得到函数的值域，从值域上观察不存在正数M，即函数在x∈（0，+∞）上不是有界函数．，
    （2）根据函数f（x）在（-∞，0]上是以3为上界的函数，得到|1+2x+4x|≤3，换元以后得到关于t的不等式，根据二次函数的性质写出对称轴，求出a的范围．
    （3）根据第二问的做法，可以用同样的方法，做出当m 取值不同时，可以写出T的取值，注意对于m的讨论．
    解答：解：（1）当a=1时，f（x）=1+2x+4x，设t=2x，所以t∈（1，+∞）
    ∴函数的值域是（3，+∞），不存在正数M，即函数在x∈（0，+∞）上不是有界函数．
    （2）由已知函数f（x）在（-∞，0]上是以3为上界的函数，即：|1+a2x+4x|≤3
    设t=2x，所以t∈（0，1），不等式化为|1+at+t2|≤3
    当0＜-
    a
    2
    ≤1    时，1-
    1
    4
    a2≥-3    且2+a≤3得-2≤a＜0
    当-
    a
    2
    ≤0    或-
    a
    2
    ≥1
    即a≤-2或a≥0时，得-5≤a≤-2或0≤a≤1
    综上有-5≤a≤1
    （3）当m∈(0，
    		2
    2
    ]    时，T的取值范围是[
    1-m
    1+m
    ，+∞    ）；
    当m∈(
    		2
    2
    ，+∞)    时，T的取值范围是[
    2m-1
    2m+1
    ，+∞)
    点评：本题考查函数的综合问题，本题解题的关键是利用条件中新定义的有界函数的意义来解题，既有证明是有界函数，又有应用有界函数．
    练习册系列答案
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    定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．
    已知函数f（x）=1+a•（
    1
    2
    ）x+（
    1
    4
    ）x；g（x）=
    1-m•x2
    1+m•x2

    （Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）值域并说明函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数？
    （Ⅱ）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
    （Ⅲ）已知m＞-1，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax2
    （1）当a=-1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；
    （2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=1+a•(
    1
    2
    )x+(
    1
    4
    )x    ； g(x)=
    1-m•x2
    1+m•x2

    （1）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
    （2）已知m＞-1，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于定义在D上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线y=kx+m1和y=kx+m2，使得对任意x∈D都有kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，则称函数f（x）（x∈D）有一个宽度为d的通道．给出下列函数：①f(x)=
    1
    x
    ，②f（x）=sinx，③f(x)=
    		x2-1
    ，其中在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数有（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如右图所示，定义在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，常数A，都有f（x）≥A成立，则称函数f（x）在D上有下界，其中A称为函数的下界．（提示：图中的常数A可以是正数，也可以是负数或零）
    （1）试判断函数f(x)=x3+
    48
    x
    在（0，+∞）上是否有下界？并说明理由；
    （2）已知某质点的运动方程为S(t)=at-2
    		t+1
    ，要使在t∈[0，+∞）上的每一时刻该质点的瞬时速度是以A=
    1
    2
    为下界的函数，求实数a的取值范围．

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