Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，M，N是对角线AC₁上的两点，动点P在正方体表面上且满足|PM|=|PN|，则动点P的轨迹长度的最大值为（　　）

• A．3
• B．3

  2

• C．3

  3

• D．6

Answer 1

分析：根据满足PM=PN这个条件可以看出点P是在垂直于AC₁且过线段MN中点的一个平面a上的，而题目中又说P在正方体表面上，所以P点的轨迹便是平面a与正方体各表面的交线所组成的一个由折线段构成的轨迹．假象有一个平面从A点开始切割（该平面垂直AC₁），开始得到的图形是三角形，且三角形的周长慢慢变长，直到切割到A₁点，利用运动变化的思想研究整个过程可得出动点P的轨迹长度的最大值．

解答：解：满足PM=PN这个条件可以看出点P是在垂直于AC₁且过线段MN中点的一个平面a上的，又说P在正方体表面上，
∴P点的轨迹便是平面a与正方体各表面的交线所组成的一个由折线段构成的轨迹．
也就是垂直于正方体体对角线的平面与正方体表面相交的交线构成的哪个图形的周长最大．
假象有一个平面从A点开始切割（该平面垂直AC₁），开始得到的图形是三角形，且三角形的周长慢慢变长，直到切割到A₁点，
这个切割图形为三角形A₁BD，此时是当切割图形是三角形时的周长最大值，为3

2

．
之后的切割图形变为六边形，经计算得出当切割图形为六边形时图形的周长恒定还是为3

2

，
之后切割图形又为三角形，周长开始从3

2

递减趋向于零，
直至切割到C₁点切割结束．
根据整个过程来说可以得出P点的最大长度为3

2

．
故选B．

点评：本题考查立体几何中的轨迹问题，考查学生的分析解决问题的能力，解题的关键是确定满足|PM|=|PN|的点P所构成的轨迹．