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已知直线l过点P(0,2),斜率为k,圆Q:x2+y2-12x+32=0,若直线l和圆Q交于两个不同的点A,B,问是否存在常数k,使得
OA
+
OB
PQ
共线?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
设直线l的方程为y=kx+2,
y=kx+2
x2+y2-12x+32=0
消y,可得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0,
∵直线l和圆相交,
∴△=[4(k-3)]2-4×36×(1+k2)>0,解得-
3
4
<k<0.
设A(x1,y1)、B(x2,y2),
由根与系数的关系,可得x1+x2=-
4(k+3)
1+k2
,x1x2=
36
1+k2
.…①
∴y1+y2=kx1+2+kx2+2=k(x1+x2)+4,…②
OA
+
OB
=(x1+x2,y1+y2),
PQ
=(6,-2).
OA
+
OB
PQ
共线,则-2×(x1+x2)=6×(y1+y2),即(1+3k)(x1+x2)+12=0,
代入①②,可得(1+3k)[-
4(k+3)
1+k2
]+12=0,解得k=-
3
4

又∵-
3
4
<k<0,
∴不存在常数k,使得
OA
+
OB
PQ
共线.
练习册系列答案
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4-x2
与直线kx-y-2k+4=0有两个相异的交点时,实数k的取值范围是(  )
A.(0,
5
12
)
B.(
1
3
3
4
]
C.(
5
12
3
4
]
D.(
5
12
,+∞)

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直线
3
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

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(1)若直线l过圆C的圆心,求m的值;
(2)若直线l与圆C交于A,B两点,且|AB|=
17
,求直线l的倾斜角.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

两个圆 的公切线有        条。

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