Question

在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

cosA-2cosC

cosB

=

2c-a

b

（Ⅰ）求

sinC

sinA

的值；
（Ⅱ）若cosB=

1

4

，b=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得sinC和sinA的关系式，则

sinC

sinA

的值可得．
（Ⅱ）先通过余弦定理可求得a和c的关系式，同时利用（Ⅰ）中的结论和正弦定理求得a和c的另一关系式，最后联立求得a和c，利用三角形面积公式即可求得答案．

解答：解：（Ⅰ）由正弦定理设

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k
则

2c-a

b

=

2ksinC-ksinA

ksinB

=

2sinC-sinA

sinB

=

cosA-2cosC

cosB

整理求得sin（A+B）=2sin（B+C）
又A+B+C=π
∴sinC=2sinA，即

sinC

sinA

=2
（Ⅱ）由余弦定理可知cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

4

①
由（Ⅰ）可知

sinC

sinA

=

c

a

=2②
①②联立求得c=2，a=1
sinB=

1- 1 16

=

15

4

∴S=

1

2

acsinB=

15

4

点评：本题主要考查了解三角形和三角函数中恒等变换的应用．考查了学生基本分析问题的能力和基本的运算能力．