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如图,点P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,E,F分别为线段PB,PC的中点,且AD=4,PA=AB=2
(1)求直线EC和面PAD所成的角
(2)求点P到平面AFD的距离.
分析:(1)建立空间直角坐标系,求出平面PAD的法向量,利用向量的夹角公式,即可求直线EC和面PAD所成的角
(2)确定平面AFD的法向量,利用向量公式,可求点P到平面AFD的距离.
解答:解:(1)分别以AB,AD,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),P(0,0,2)
∴E(1,0,1),F(1,2,1),
EC
=(1,4,-1)

∵AB⊥平面PAD
∴平面PAD的法向量为
AB
=(2,0,0)
设直线EC与平面PAD所成的角为α,则sinα=
EC
AB
|
EC
||
AB
|
=
2
6

∴直线EC与平面PAD所成的角为arcsin
2
6

(2)由(1)可知
AF
=(1,2,1),
AD
=(0,4,0)

设平面AFD的法向量为
n
=(x,y,z),点P到平面AFD的距离为d
AF
n
=0
AD
n
=0
,可得
x+2y+z=0
4y=0
,∴取
n
=(1,0,-1)
AP
=(0,0,2)

∴d=
|
AP
n
|
|
n
|
=
2
点评:本题考查线面角,考查点到面的距离的计算,考查向量知识的运用,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

17、如图,点P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,E、F分别为AB、PC的中点.
求证:(1)CD⊥PD;
(2)EF∥平面PAD.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,点P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,E、F分别为AB、PC的中点.
求证:(1)CD⊥PD;
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年重庆市南开中学高二(上)期中数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

如图,点P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,E,F分别为线段PB,PC的中点,且AD=4,PA=AB=2
(1)求直线EC和面PAD所成的角
(2)求点P到平面AFD的距离.

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(1)求直线EC和面PAD所成的角
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