Question

对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称为f（x）为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数f（x）=ax²+2x-4a（a∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）若函数g（x）=

log2(x2-2ax+2a2) x≥2 -3 x＜2

，为其定义域上的“局部奇函数”，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若f（x）为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；
（2）将问题转化为方程x²-2ax+2a²-8=0有解，结合根的判别式大于0，从而求出a的范围．

解答： 解：（1）若f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（-x）+f（x）=0有解．
当f（x）=ax²+2x-4a时，
由f（-x）+f（x）=0得2a（x²-4）=0
解得x=±2，
所以方程f（-x）+f（x）=0有解，
因此f（x）为“局部奇函数”． 
（2）由题意得：

log	(x2-2ax+2a2) 2

=3，
∴x²-2ax+2a²-8=0，
∴△=4a²-4（2a²-8）≥0，
解得：-2

2

≤a≤2

2

．

点评：题主要考查与函数奇偶性有关的新定义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力．