Question

已知动圆M过定点P（0，m）（m＞0），且与定直线l₁：y=-m相切，
动圆圆心M的轨迹为C，直线l₂过点P交曲线C于A，B两点．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若l₂交x轴于点S，且

|SP|

|SA|

+

|SP|

|SB|

=3，求l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）圆心M的轨迹满足抛物线的方程，进而得到答案．
（2）先判定斜率存在然后得到直线的方程且与抛物线联立消去y，进而得到两根之和两根之积，然后表示出

|SP|

|SA|

+

|SP|

|SB|

整理后使其等于3可求得k的值，进而确定直线的方程．

解答：解：（Ⅰ）依题意，曲线C是以点P为焦点，直线l₁为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为x²=4my
（Ⅱ）由题意知k存在且k≠0
设l₂方程为y=kx+m，代入x²=4my由消去y得x²-4mkx-4m²=0
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4mk，x₁x₂=-4m²

|SP|

|SA|

+

|SP|

|SB|

=

m

y1

+

m

y2

=

m(y1+y2)

y1y2

=

m[k(x1+x2)+2m]

(kx1+m)(kx2+m)

=

m[k(x1+x2)+2m]

k2x1x2+mk(x1+x2)+m2

=

m(2m+4mk2)

m2

=2+4k2=3
所以k=±

1

2

，l₂方程为y=±

1

2

x+m．

点评：本题主要考查抛物线的标准方程和直线与抛物线的联立问题．圆锥曲线是高考的重点，尤其是圆锥曲线与直线的联立是每年必考的压轴问题，一定要熟练掌握．