【题目】如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=AC,A1B⊥AC1,设O为AC1与A1C的交点,点P为BC的中点.求证:
(1)OP∥平面ABB1A1;
(2)平面ACC1⊥平面OCP.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】
(1)根据平面ACC1A1是平行四边形,则O为A1C的中点,又P为BC的中点,根据三角形中位线得到OP∥A1B,再利用线面平行的判定定理证明.
(2)根据AA1=AC,得到平面ACC1A1是菱形,从而AC1⊥OC,再由A1B⊥AC1,OP∥A1B,得到AC1⊥OP,由线面垂直的判定定理得到AC1⊥平面OCP,然后用面面垂直的判定定理证明.
(1)∵在三棱柱中,平面ACC1A1是平行四边形,
∴O为A1C的中点,又∵P为BC的中点,
∴OP∥A1B,
∵A1B平面ABB1A1,OP平面ABB1A1,
∴OP∥平面ABB1A1,
(2)∵平面ACC1A1是平行四边形,且AA1=AC,
∴平面ACC1A1是菱形,
∴AC1⊥A1C,即AC1⊥OC,
∵A1B⊥AC1,且OP∥A1B,
∴AC1⊥OP,又AC1⊥OC,OPOC=O,
∴AC1⊥平面OCP,
∵AC1平面ACC1,
∴平面ACC1⊥平面OCP.
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【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,已知,顶点P在平面ABC上的射影为的外接圆圆心.
(1)证明:平面平面ABC;
(2)若点M在棱PA上,,且二面角P-BC-M的余弦值为,试求的值.
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【题目】已知某高校综合评价有两步:第一步是材料初审,若材料初审不合格,则不能进入第二步面试;若材料初审合格,则进入第二步面试.只有面试合格者,才能获得该高校综合评价的录取资格,现有A,B,C三名学生报名参加该高校的综合评价,假设A,B,C三位学生材料初审合格的概率分别是,,;面试合格的概率分别是,,.
(1)求A,B两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率;
(2)记随机变量X为A,B,C三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数,求X的概率分布与数学期望.
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【题目】某印刷厂为了研究单册书籍的成本(单位:元)与印刷册数(单位:千册)之间的关系,在印制某种书籍时进行了统计,相关数据见下表:
印刷册数(千册) | |||||
单册成本(元) |
根据以上数据,技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型,得到两个回归方程,方程甲:,方程乙:.
(1)为了评价两种模型的拟合效果,完成以下任务.
①完成下表(计算结果精确到);
印刷册数(千册) | ||||||
单册成本(元) | ||||||
模型甲 | 估计值 | |||||
残差 | ||||||
模型乙 | 估计值 | |||||
残差 |
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和,并通过比较,判断哪个模型拟合效果更好.
(2)该书上市之后,受到广大读者热烈欢迎,不久便全部售罄,于是印刷厂决定进行二次印刷,根据市场调查,新需求量为千册,若印刷厂以每册元的价格将书籍出售给订货商,求印刷厂二次印刷千册获得的利润?(按(1)中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本).
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【题目】某商场春节期间推出一项优惠活动,活动规则如下:消费额每满300元可转动如图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针等可能地停在任一位置.若指针停在区域Ⅰ返券60元;停在区域Ⅱ返券30元;停在区域Ⅲ不返券.例如:消费600元,可抽奖2次,所获得的返券金额是两次金额之和.
(Ⅰ)若某位顾客消费300元,求返券金额不低于30元的概率;
(Ⅱ)若某位顾客恰好消费600元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为(元).求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆经过点,且点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若椭圆上存在两点,使得的垂心(三角形三条高的交点)恰为坐标原点,试求直线的方程.
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