Question

如上图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，Y轴正半轴上移动，则的概率为         ．

Answer 1

试题分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可。解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BA x= 
-θ，AB=1，故x_B=cosθ+cos（-θ）=cosθ+sinθ，y_B=sin（-θ）=cosθ，故=（cosθ+sinθ，cosθ），同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，
=1+sin2θ 的最大值是2，故的概率为 
点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标，属于中档题