Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】(1) 的单调递增区间为，的单调递减区间为.

(2) 或，函数有个零点，或时，函数有两个零点.

【解析】分析：（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）对分三种情况讨论，利用导数研究函数的单调性，利用单调性结合函数图象以及零点存在定理可得，或，函数有个零点，或时，函数有两个零点.

详解：（1）当时，

令，得，

当时，，

当时，，

所以的单调递增区间为，的单调递减区间为

（2）当时，的定义域为，

当时，即时，在上单调递增，易知

所以函数有个零点

当时，即时，令，

得，，且，

所以在，上单调递增，在上单调递减

由，知，

所以，

则，

因为，

所以

所以

所以当时，函数有个零点

当时，的定义域为

令，得，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

令，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以（当且仅当时等号成立）

①当时，，而，，

由单调性知，

所以内存在零点，即函数在定义内有个两点

②当时，，而，，

同理内存在零点，

即函数值定义域内存在个零点

③当时，，

所以函数在定义域内有一个零点

综上：或，函数有个零点，

或时，函数有两个零点