Question

如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，四边形是边长为的正方形．

（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连结，与交于点，连结．因为，分别为和的中点，所以∥．又平面，平面，
所以∥平面．             ……………………4分
（Ⅱ）证明：在直三棱柱中，平面，又平面，所以．因为，为中点，所以．又，
所以平面．又平面，所以．
因为四边形为正方形，，分别为，的中点，
所以△≌△，． 所以．
所以．
又，所以平面．               ……………………8分

（Ⅲ）解：如图，以的中点为原点，建立空间直角坐标系．
则．
由（Ⅱ）知平面，所以为平面的一个法向量．
设为平面的一个法向量，
，．
由可得
令，则．
所以．
从而．
因为二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．………12分

略