Question

梯形ACPD中，AD∥CP，PD⊥AD，CB⊥AD，∠DAC=

π

4

，PC=AC=2，如图①；现将其沿BC折成如图②的几何体，使得AD=

6

．
（Ⅰ）求直线BP与平面PAC所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先判断BD、BA、BC两两垂直，再建立空间直角坐标系，求出平面PAC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得直线BP与平面PAC成的角大小；
（Ⅱ）求出平面PAB的法向量

m

=(

2

，0，-1)，平面PAC的法向量为

n

=（1，1，0），利用向量的夹角公式，即可求得二面角C-PA-B的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）由题意，∵PC=AC=2，
∴AB=BC=

2

，BD=2，AD=

6

．
在△ABD中，∵AB²+DB²=AD²，∴BD⊥BA，
∴BD、BA、BC两两垂直，分别以BC、BA、BD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B-xyz（如图）.A(0，

2

，0)，B(0，0，0)，C(

2

，0，0)，P(

2

，0，2)，

BP

=(

2

，0，2)．
设平面PAC的法向量为

n

=（x，y，z），

CA

=(-

2

，

2

，0)，

CP

=(0，0，2)，

n • CA =0 n • CP =0

，
∴

x-y=0 z=0

，取

n

=（1，1，0）
设直线BP与平面PAC成的角为θ，则sinθ=|

BP • n

| BP |•| n |

|=

2

2 × 6

=

6

6

直线BP与平面PAC成的角大小为arcsin

6

6

．
（Ⅱ）设平面PAB的法向量为

m

=（x，y，z），

BA

=(0，

2

，0)，

AP

=(

2

，-

2

，2)．
∴

AB • m =0 AP • m =0

，∴

- 2 y=0 2 x- 2 y+2z=0

，∴

y=0 x=- 2 z

令z=-1，∴

m

=(

2

，0，-1)．
由（Ⅰ）知平面PAC的法向量为

n

=（1，1，0）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2

3 × 2

=

3

3

由图知二面角C-PA-B为锐角，
∴二面角C-PA-B的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查线面角，考查面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，属于中档题．