Question

已知A＝{(x，y)|x＝n，y＝an＋b，n∈Z}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m²＋15，m∈Z}，C＝{(x，y)|x²＋y²≤144}，问是否存在实数a、b使得(1)A∩B≠；(2)(a，b)∈C同时成立？

Answer 1

答案：
解析：

解：假设存在实数a、b使得A∩B≠，则集合A＝{(x，y)|x＝n，y＝an＋b，n∈Z}与B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m2＋15，m∈Z}分别对应集合A1＝{(x，y)|y＝ax＋b，x∈Z}与B1＝{(x，y)|y＝3x2＋15，x∈Z}，A1与B1对应的直线y＝ax＋b与抛物线y＝3x2＋15至少要有公共点， 　　∴方程组有解，即方程3x2＋15＝ax＋b必有解． 　　因此Δ＝a2－12(15－b)≥0， 　　即－a2≤12b－180．① 　　又∵a2＋b2≤144，② 　　①②相加得b2≤12b－36，即(b－6)2≤0，∴b＝6． 　　将b＝6代入①得a2≥108，再将b＝6代入②得a2≤108， 　　因此a＝±6，再将a＝±6，b＝6代入方程3x2＋15＝ax＋b，得3x2±6x＋9＝0，解得x＝±Z，这与x∈Z相矛盾． 　　∴不存在实数a、b，使(1)(2)同时成立． 　　思路分析：假设存在a、b使得(1)成立，得到a与b的关系后与a2＋b2≤144联立，然后讨论联立的不等式组．