Question

16．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{x}-a|，x＜2}\\{{x}^{2}-3ax+2{a}^{2}，x≥2}\end{array}\right.$，若函数f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是1≤a＜2，或a≥4．

Answer 1

分析 分段函数求解得出2^x-a=0，x²-3ax+2a²=（x-a）（x-2a），分类分别判断零点，总结出答案．

解答 解：∵y=2^x，x＜2，0＜2^x＜4，
∴0＜a＜4时，2^x-a=0，有一个解，
a≤0或a≥4，2^x-a=0无解
∵x²-3ax+2a²=（x-a）（x-2a），
∴当a∈（0，1）时，
方程x²-3ax+2a²=0在[1，+∞）上无解；
当a∈[1，2）时，
方程x²-3ax+2a²=0在[1，+∞）上有且仅有一个解；
当a∈[2，+∞）时，
方程x²-3ax+2a²=0在x∈[1，+∞）上有且仅有两个解；
综上所述，函数f（x）恰有2个零点，1≤a＜2，或a≥4
故答案为：1≤a＜2，或a≥4

点评 本题考查了分段函数的性质的应用及分类讨论的思想应用，把问题分解研究的问题，拆开来研究，从多种角度研究问题，分析问题的能力．