Question

已知函数f（x）=

1

2

x2-2x，g(x)=logax（a＞0，且a≠1），其中a为常数，如果h（x）=f（x）+g（x）在其定义域上是增函数，且h'（x）存在零点（h'（x）为h（x）的导函数）．
（I）求a的值；
（Ⅱ）设A（m，g（m）），B（n，g（n））（m＜n）是函数y=g（x）的图象上两点，g'（x₀）=

g(n)-g(m)

n-m

（g'（x）为g（x）的导函数），证明：m＜x₀＜n．

Answer 1

（I）因为h(x)=

1

2

x2-2x+logax(x＞0)．
所以h′(x)=x-2+

1

xlna

．
因为h（x）在（0，+∞）上是增函数．
所以x-2+

1

xlna

≥0在(0，+∞)上恒成立     …（1分）
当x＞0时，x-2+

1

xlna

≥0?x2-2x≥-

1

lna

．
而x²-2x=（x-1）²-1在（0，+∞）上的最小值是-1．
于是-1≥-

1

lna

，即1≤

1

lna

．（※）
可见a＞1(若0＜a＜1，则

1

lna

＜0．这与

1

lna

≥1矛盾)
从而由（※）式即得lna≤1．①…..…（4分）
同时，h′(x)=x-2+

1

xlna

=

x2lna-2xlna+1

xlna

(x＞0)
由h′(x)存在(正)零点知△=(-2lna

)

2

-4lna≥0，
解得lna≥1②，或lna≤0（因为a＞1，lna＞0，这是不可能的）．
由①②得 lna=1．
此时，h'（x）存在正零点x=1，故a=e即为所求   …（6分）
注：没有提到（验证）lna=1时，h'（x）存在正零点x=1，不扣分．
（II）由（I），g(x)=lnx，g′(x0)=

1

x0

，
于是

1

x0

=

g(n)-g(m)

n-m

，x0=

n-m

lnn-lnm

．…（7分）
以下证明m＜

n-m

lnn-lnm

．（☆）
（☆）等价于mlnn-mlnm-n+m＜0．…（8分）
构造函数r（x）=xlnn-xlnx-n+x（0＜x≤n），
则r'（x）=lnn-lnx，当x∈（0，n）时，r'（x）＞0，所以r（x）在（0，n]上为增函数．
因此当m＜n时，r（m）＜r（n）=0，即mlnn-mlnm-n+m＜0．
从而x₀＞m得到证明．    …（11分）
同理可证n＞

n-m

lnn-lnm

．综上，m＜x0＜n．…（12分）
注：没有“综上”等字眼的结论，扣（1分）．