Question

已知函数f(x)=2sinx[1-cos(

π

2

+x)]+2cos2x-1
（1）设ω＞0为常数，若函数y=f（ωx）在区间[-

π

2

，

2

3

π]上是增函数，求ω的取值范围；
（2）设集合A={x|

π

6

≤x≤

2

3

π}，B=x||f（x）-m|＜2，若A∪B=B，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的平方关系及二倍角公式化简三角函数，再由函数y=f（ωx）在区间[-

π

2

，

2

3

π]上是增函数列出关于ω的不等关系，解这即得ω的取值范围；
（2）利用A∪B=B得出集合A是集合B的子集，再化简集合B，最后转化为不等式

m＜f(x)+2 m＞f(x)-2

恒成立问题，从而实数m的取值范围即可．

解答：解：f（x）=2sinx+2sin²x+2cos²x-1=2sinx+1
（1）y=f（ωx）=2sinωx+1在[-

π

2

，

2

3

π]上增函数
∵-

π

2

ω≤ωx≤

2

3

πω
∴

- π 2 ω≥- π 2 2 3 πω≤ π 2

ω≤1 ω≤ 3 4

∴0＜ω≤

3

4

（2）-2＜f(x)-m＜2

m＜f(x)+2 m＞f(x)-2

又A∪B=B，∴A⊆B
∴对于任意x∈[

π

6

，

2

3

π]，不等式

m＜f(x)+2 m＞f(x)-2

恒成立
而f(x)=2sinx+1，x∈[

π

6

，

2

3

π]且最大值f（x）_max=3，最小值f（x）_min=2
∴

m＜4 m＞1

∴1＜m＜4
实数m的取值范围1＜m＜4

点评：本小题主要考查函数二倍角的余弦、三角函数中的恒等变换应用、并集及其运算、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．