Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）如果，AD=6，AE=6

2

，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代换有∠OEB=∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切线；
（2）先利用切割线定理可求出半径OD，容易证出△AED∽△ABE；设DE=

2

x，BE=2x，利用相似比，结合勾股定理可求x，从而求出BC的长．

解答：（1）证明：连接OE；
∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠AEO=90°，
∴AC是⊙O的切线；
解：（2）∵AE是⊙O的切线，
AD=6，AE=6

2

，
∴AE²=AD•AB，
∴AB=

AE2

AD

=

(6 2 )2

6

=12，
∴BD=AB-AD=12-6=6；
∵∠AED=∠ABE，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABE，
∴

DE

BE

=

AE

AB

2

2

；
设DE=

2

x，BE=2x，
∵DE²+BE²=BD²，
∴2x²+4x²=36，
解得x=±

6

（负的舍去），
∴BE=2

6

，DE=2

3

，BC=4

点评：本题利用了平行线的性质、切线的判定、切割线定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识．