Question

设函数f（x）的定义域 为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），且f（2）=4
（Ⅰ）求f（0），f（1）的值；
（Ⅱ）证明f（x）在R上是减函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：本题（Ⅰ）利用抽象函数的条件，取行列值代入，可得f（0），f（1）的值，得到本题结论；（Ⅱ）利用抽象函数条件和函数单调性的定义，证明f（x）在R上是减函数，得到本题结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵x，y∈R，f（x+y）=f（x）•f（y），
当x＜0时，f（x）＞1，
令x=-1，y=0，
则f（-1）=f（-1）f（0）∵f（-1）＞1，
∴f（0）=1∴f（1）=f（0）f（1）=1．
（Ⅱ）若x＞0，-x＜0，
∴f（x-x）=f（0）=f（x）f（-x），
∴f（x）=

1

f(-x)

∈（0，1），
故x∈R，f（x）＞0
任取x₁＜x₂，f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）f（x₂-x₁）
∵x₂-x₁＞0，
∴0＜f（x₂-x₁）＜1，
∴f（x₂）＜f（x₁）．
故f（x）在R上减函数．

点评：本题考查了函数单调性定义和抽象函数的研究，本题难度不大，属于基础题．