Question

设函数f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx(a，b，c∈R，a≠0)的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数g(x)=k(x)-

1

2

x为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（-1）=0；②对一切实数x，不等式k(x)≤

1

2

x2+

1

2

恒成立．
（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；
（Ⅱ）求证：

1

k(1)

+

1

k(2)

+…+

1

k(n)

＞

2n

n+2

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x），根据g（x）的奇偶性求出b，根据k（-1）=0，求出a+c=

1

2

，再由k(x)≤

1

2

x2+

1

2

对一切实数x恒成立，解得a、c的值，即得函数k（x）的表达式．
（Ⅱ）根据

1

k(n)

=

4

(n+1)2

，即证

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＞

n

2n+4

，把

1

(n+1)2

＞

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

代入要证不等式的左边化简即可证得不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x）=ax²+bx+c．…（1分）
由g(x)=k(x)-

1

2

x为偶函数，得g(x)=ax2+bx+c-

1

2

x为偶函数，显然有b=

1

2

．…（2分）
又k（-1）=0，所以a-b+c=0，即a+c=

1

2

．…（3分）
又因为k(x)≤

1

2

x2+

1

2

对一切实数x恒成立，
即对一切实数x，不等式(a-

1

2

)x2+

1

2

x+c-

1

2

≤0恒成立．…（4分）
显然，当a=

1

2

时，不符合题意．…（5分）
当a≠

1

2

时，应满足

a- 1 2 ＜0 △= 1 4 -4(a- 1 2 )(c- 1 2 )≤0

，
注意到a+c=

1

2

，解得a=c=

1

4

．…（7分）  所以k(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

． …（8分）
（Ⅱ）证明：因为k(n)=

n2+2n+1

4

=

(n+1)2

4

，所以

1

k(n)

=

4

(n+1)2

．…（9分）
要证不等式

1

k(1)

+

1

k(2)

+…+

1

k(n)

＞

2n

n+2

成立，
即证

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＞

n

2n+4

．…（10分）
因为

1

(n+1)2

＞

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，…（12分）
所以

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＞

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2n+4

．
所以

1

k(1)

+

1

k(2)

+…+

1

k(n)

＞

2n

n+2

成立．…（14分）

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，函数的恒成立问题，利用导数研究曲线在某点的切线斜率，以及用裂项法对数列进行
求和，属于难题．