Question

（2013•临沂三模）已知直线l：y=x+

6

，圆O：x²+y²=5，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

3

3

，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．
（1）若

AF

=2

FB

求直线l的方程；
（2）若动点P满足

OP

=

OA

+

OB

，问动点P的轨迹能否与椭圆C存在公共点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由点到直线的距离公式可得圆心O到直线l的距离为d=

3

，利用勾股定理可求得b值，根据b值，

c

a

=

3

3

，a²=b²+c²可求得a；
（Ⅱ）（1）易判断l斜率不为0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

AF

=2

FB

，可得y₁=-2y₂①，设直线l：x=my+1，代入椭圆消掉x得y的二次方程，由韦达定理及①可用m表示y₁，y₂，代入y1y2=

-4

2m2+3

，得-

8m

2m2+3

×

4m

2m2+3

=-

4

2m2+3

，解出m，从而得到直线l的方程；（2）问题等价于在椭圆上是否存在点P，使得

OP

=

OA

+

OB

成立．易判断直线斜率不为0，设直线l的方程为x=my+1，由（1）的设法可得P（x₁+x₂，y₁+y₂），若点P在椭圆C上，可得

x12+2x1x2+x22

3

+

y12+2y1y2+y22

2

=1，再由点A，B在椭圆上，可得2x₁x₂+3y₁y₂+3=0②，代入韦达定理可得m的方程，解出m，进而可求出点P的坐标，得到结论；

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离为d=

6

1+1

=

3

，
∴b=

5-3

=

2

．由题意得  

c a = 3 3 a2=b2+c2 b= 2

，解得a²=3，b²=2．
故椭圆C的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）（1）当直线l的斜率为0时，检验知

AF

≠2

FB

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

AF

=2

FB

，得（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂），则有y₁=-2y₂①，
设直线l：x=my+1，联立

x=my+1 x2 3 + y2 2 =1

消去x，整理得（2m²+3）y²+4my-4=0．
∴y1+y2=-

4m

2m2+3

，y1y2=

-4

2m2+3

．
结合①，得y1=-

8m

2m2+3

，y2=

4m

2m2+3

．
代入y1y2=

-4

2m2+3

，得-

8m

2m2+3

×

4m

2m2+3

=-

4

2m2+3

，即

8m2

2m2+3

=1，解得m=±

2

2

，
故直线l的方程是x=±

2

2

y+1．
（2）问题等价于在椭圆上是否存在点P，使得

OP

=

OA

+

OB

成立．
当直线l的斜率为0时，可以验证不存在这样的点，故设直线l的方程为x=my+1，
用（1）的设法，可得P（x₁+x₂，y₁+y₂）．
若点P在椭圆C上，则

(x1+x2)2

3

+

(y1+y2)2

2

=1，即

x12+2x1x2+x22

3

+

y12+2y1y2+y22

2

=1．
又点A，B在椭圆上，有

x12

3

+

y12

2

=1，

x22

3

+

y22

2

=1，
则

2

3

x1x2+y1y2+1=0，即2x₁x₂+3y₁y₂+3=0②，
由（1）知x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=-

8m2

2m2+3

+1，
代入②式得-

16m2

2m2+3

+2-

12

2m2+3

+3=0，解得m2=

1

2

，即m=±

2

2

．
当m=

2

2

时，y1+y2=-

4m

2m2+3

=-

2

2

，x1+x2=m(y1+y2)+2=-

1

2

+2=

3

2

；
当m=-

2

2

时，y1+y2=-

4m

2m2+3

=

2

2

，x1+x2=m(y1+y2)+2=-

1

2

+2=

3

2

．
故椭圆C上存在点P(

3

2

，±

2

2

)，使得

OP

=

OA

+

OB

成立，即动点P的轨迹与椭圆C存在公共点，公共点的坐标是(

3

2

，±

2

2

)．

点评：本题考查直线方程、椭圆方程及性质、直线与椭圆的位置关系、平面向量等知识，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，能力要求较高．