Question

18．设a、b、c是正实数，且a+b+c=3，求$\frac{{a}^{2}+9}{2a+（b+c）^{2}}$+$\frac{{b}^{2}+9}{2{b}^{2}+（a+c）^{2}}$+$\frac{{c}^{2}+9}{2{c}^{2}+（b+a）^{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 由a+b+c=3，可得$\frac{{a}^{2}+9}{2{a}^{2}+（b+c）^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+（a+b+c）^{2}}{2{a}^{2}+（b+c）^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}+（b+c）^{2}+2a（b+c）}{2{a}^{2}+（b+c）^{2}}$=1+$\frac{2a（b+c）}{2{a}^{2}+（b+c）^{2}}$=1+$\frac{2}{\frac{2a}{b+c}+\frac{b+c}{a}}$，运用基本不等式可得最大值；同理可得$\frac{{b}^{2}+9}{2{b}^{2}+（a+c）^{2}}$=1+$\frac{2}{\frac{2b}{a+c}+\frac{a+c}{b}}$≤1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{{c}^{2}+9}{2{c}^{2}+（b+a）^{2}}$=1+$\frac{2}{\frac{2c}{a+b}+\frac{a+b}{c}}$≤1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．累加即可得到所求最大值．

解答 解：由a+b+c=3，可得
$\frac{{a}^{2}+9}{2{a}^{2}+（b+c）^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+（a+b+c）^{2}}{2{a}^{2}+（b+c）^{2}}$
=$\frac{2{a}^{2}+（b+c）^{2}+2a（b+c）}{2{a}^{2}+（b+c）^{2}}$=1+$\frac{2a（b+c）}{2{a}^{2}+（b+c）^{2}}$
=1+$\frac{2}{\frac{2a}{b+c}+\frac{b+c}{a}}$≤1+$\frac{2}{2\sqrt{\frac{2a}{b+c}•\frac{b+c}{a}}}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当且仅当b+c=$\sqrt{2}a$，取得等号．
同理可得$\frac{{b}^{2}+9}{2{b}^{2}+（a+c）^{2}}$=1+$\frac{2}{\frac{2b}{a+c}+\frac{a+c}{b}}$≤1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当a+c=$\sqrt{2}$b，取得等号．
$\frac{{c}^{2}+9}{2{c}^{2}+（b+a）^{2}}$=1+$\frac{2}{\frac{2c}{a+b}+\frac{a+b}{c}}$≤1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
当且仅当b+c=$\sqrt{2}a$，取得等号．
则有$\frac{{a}^{2}+9}{2a+（b+c）^{2}}$a+$\frac{{b}^{2}+9}{2{b}^{2}+（a+c）^{2}}$+$\frac{{c}^{2}+9}{2{c}^{2}+（b+a）^{2}}$≤3+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
即有最大值为3+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查最值的求法，注意运用常数代换变形，结合基本不等式，考查推理和运算能力，属于中档题．