Question

8．已知函数f（x）=|x-a|-$\frac{a}{2}$lnx，a∈R，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 通过讨论a的符号，去掉绝对值，求出函数f（x）的导数的符号，从而求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）a≤0时，由定义域得x-a＞0恒成立，
∴f（x）=x-a-$\frac{a}{2}$lnx，f′（x）=1-$\frac{a}{2x}$$\frac{2x-a}{2x}$，
∵x＞0≥a，∴2x＞a，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增；
（2）a＞0时，若x＞a，则f（x）=x-a-$\frac{a}{2}$lnx，
f′（x）=1-$\frac{a}{2x}$$\frac{2x-a}{2x}$，
∵x＞a，∴2x＞a，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（a，+∞）单调递增；
x＜a时，则f（x）=a-x-$\frac{a}{2}$lnx，
f′（x）=-1-$\frac{a}{2x}$＜0，
∴f（x）在（0，a）单调递减；
综上，a≤0时：f（x）在（0，+∞）单调递增，
a＞0时：f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增．

点评 本题考查了导数的应用，考查分类讨论，是一道中档题．