【题目】将函数f(x)=sin( +x)(cosx﹣2sinx)+sin2x的图象向左平移 个单位长度后得到函数g(x),则g(x)具有性质( )
A.在(0, )上单调递增,为奇函数
B.周期为π,图象关于( )对称
C.最大值为 ,图象关于直线x= 对称
D.在(﹣ )上单调递增,为偶函数
【答案】A
【解析】解:将函数f(x)=sin( +x)(cosx﹣2sinx)+sin2x=﹣cosx (cosx﹣2sinx)+sin2x
=sin2x﹣cos2x= sin(2x﹣ )的图象向左平移 个单位长度后得到函数g(x)= sin[2(x+ )﹣ ]= sin2x的图象,
则g(x)为奇函数,且在(0, )上单调递增,故A正确、D不正确;
由于当x= 时,函数g(x)取得最大值为 ,故它的图象不关于( )对称,故排除B;
当x= 时,g(x)=0,故g(x)的图象不关于直线x= 对称,故C不正确;
故选:A.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换的相关知识,掌握图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象.
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【题目】在极坐标系中,曲线C:ρ=2acosθ(a>0),l:ρcos(θ﹣ )= ,C与l有且仅有一个公共点.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)O为极点,A,B为C上的两点,且∠AOB= ,求|OA|+|OB|的最大值.
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【题目】已知双曲线C:的两个顶点分别为A,B,点P是C上异于A,B的一点,直线PA,PB的倾斜角分别为α,β.若,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
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【题目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=BC=CA=2,AA1=4,D为A1B1的中点,E为棱BB1上的点,AB1⊥平面C1DE,且B1,C1,D,E四点在同一球面上,则该球的表面积为( )
A. 9π B. 11π C. 12π D. 14π
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【题目】已知动员P过定点 且与圆N: 相切,记动圆圆心P的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)过点D(3,0)且斜率不为零的直线交曲线C于A,B两点,在x轴上是否存在定点Q,使得直线AQ,BQ的斜率之积为非零常数?若存在,求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E为AB的中点.
(Ⅰ)求证:AN∥平面MEC;
(Ⅱ)在线段AM上是否存在点P,使二面角P﹣EC﹣D的大小为 ?若存在,求出AP的长h;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值4.
(I)求实数a,b的值;
(Ⅱ)当a>0时,求曲线y=f(x)在点(﹣2,f(﹣2))处的切线方程.
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【题目】在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程 为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)直线l的极坐标方程是 ,射线 与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求|OP||OQ|的范围.
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【题目】设函数f(x)=|2x﹣1|,x∈R.
(1)若不等式f(x)≤a的解集为{x|0≤x≤1},求a的值;
(2)若g(x)= 的定义域为R,求实数m的取值范围.
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