Question

13．过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上一点P（x₀，y₀）向圆O：x²+y²=4引两条切线PA，PB（A，B为切点），若PA⊥PB．则P点坐标是$（±2\sqrt{2}，0）$．

Answer 1

分析 如图所示，连接OA，OB，则OA⊥PA，OB⊥PB．可得四边形OAPB是正方形，于是|OP|=2$\sqrt{2}$，再与椭圆方程联立即可得出．

解答 解：如图所示，
连接OA，OB，则OA⊥PA，OB⊥PB．
又PA⊥PB，OA=OB．
∴四边形OAPB是正方形，
∴|OP|=2$\sqrt{2}$，
设P（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=2\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，解得P$（±2\sqrt{2}，0）$．
故答案为：$（±2\sqrt{2}，0）$．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、正方形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．