Question

19．已知过双曲线Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F₂作圆x²+y²=a²的切线，交双曲线Г的左支交于点A，且AF₁⊥AF₂，则双曲线的渐近线方程是（　　）

• A． y=±2x
• B． y=±$\frac{1}{2}$x
• C． y=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$x
• D． y=±$\sqrt{5}$x

Answer 1

分析 设切点为M，连接OM，运用切线的性质，以及中位线定理，可得AF₁=2a，由双曲线的定义，可得AF₂=2a+AF₁=4a，再由勾股定理，可得c²=5a²，结合a，b，c的关系，可得b=2a，进而得到双曲线的渐近线方程．

解答 解：设切点为M，连接OM，
可得OM⊥AF₂，
AF₁⊥AF₂，可得AF₁∥OM，
且OM=a，AF₁=2a，
由双曲线的定义，可得AF₂=2a+AF₁=4a，
在直角三角形AF₁F₂中，
AF₁²+AF₂²=F₁F₂²，
即为4a²+16a²=4c²，
即有c²=5a²，
由c²=a²+b²，可得b=2a，
可得双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即为y=±2x．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程的求法，注意运用直线和圆相切的条件和中位线定理、勾股定理，考查运算能力，属于中档题．