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19.已知过双曲线Г:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的右焦点F2作圆x2+y2=a2的切线,交双曲线Г的左支交于点A,且AF1⊥AF2,则双曲线的渐近线方程是(  )
A.y=±2xB.y=±$\frac{1}{2}$xC.y=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$xD.y=±$\sqrt{5}$x

分析 设切点为M,连接OM,运用切线的性质,以及中位线定理,可得AF1=2a,由双曲线的定义,可得AF2=2a+AF1=4a,再由勾股定理,可得c2=5a2,结合a,b,c的关系,可得b=2a,进而得到双曲线的渐近线方程.

解答 解:设切点为M,连接OM,
可得OM⊥AF2
AF1⊥AF2,可得AF1∥OM,
且OM=a,AF1=2a,
由双曲线的定义,可得AF2=2a+AF1=4a,
在直角三角形AF1F2中,
AF12+AF22=F1F22
即为4a2+16a2=4c2
即有c2=5a2
由c2=a2+b2,可得b=2a,
可得双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x,
即为y=±2x.
故选:A.

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质,主要是渐近线方程的求法,注意运用直线和圆相切的条件和中位线定理、勾股定理,考查运算能力,属于中档题.

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