Question

7．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量$\overrightarrow{m}$=（cosC，2b-c），向量$\overrightarrow{n}$=（cosA，a），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数f（C）=2sin²C+cos（$\frac{π}{3}$-2C）的值域．

Answer 1

分析 （I）由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，可得（2b-c）cosA-acosC=0，再利用正弦定理、和差公式即可得出；
（II）利用倍角公式与和差公式可得：f（C）=$sin（2C-\frac{π}{6}）$+1，由A=$\frac{π}{3}$，$B=\frac{2π}{3}-C$$＜\frac{π}{2}$，$0＜C＜\frac{π}{2}$，可得$\frac{π}{6}$＜C$＜\frac{π}{2}$，即可得出．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，∴（2b-c）cosA-acosC=0，
由正弦定理可得：2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0，
∴2sinBcosA=sin（C+A）=sinB≠0，
化为cosA=$\frac{1}{2}$，$A∈（0，\frac{π}{2}）$，
解得A=$\frac{π}{3}$．
（II）f（C）=2sin²C+cos（$\frac{π}{3}$-2C）=1-cos2C+$\frac{1}{2}cos2C+$$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2C=$sin（2C-\frac{π}{6}）$+1，
∵A=$\frac{π}{3}$，
∴$B=\frac{2π}{3}-C$$＜\frac{π}{2}$，$0＜C＜\frac{π}{2}$，
解得$\frac{π}{6}$＜C$＜\frac{π}{2}$，
$\frac{π}{6}$＜2C$-\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$sin（2C-\frac{π}{6}）$∈$（\frac{1}{2}，1]$．
∴f（C）∈$（\frac{3}{2}，2]$．

点评 本题考查了三角函数的化简、倍角公式、和差公式、正弦定理、三角函数的单调性值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．