Question

已知f（x）=ax+

b

x

+2-2a（a＞0）在图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）若a=1，数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=f（a_n）+2-a_n（n∈N^*），求证：a₁•a₂•a₃…a_n=n+1．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行，可求a，b满足的关系式；
（2）构造g（x）=f（x）-2lnx，求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求得结论；
（3）取a=1得f（x）=x-

1

x

，利用a_n+1=f（a_n）+2-a_n=2-

1

an

，可得{

1

an-1

}是等差数列，首项为

1

a1-1

=1，公差为1，从而可得数列通项，即可证得结论．

解答：（1）解：求导函数可得f′（x）=a-

b

x2

，根据题意f′（1）=a-b=2，即b=a-2；
（2）解：由（1）知，f（x）=ax+

a-2

x

+2-2a，
令g（x）=f（x）-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞）
则g（1）=0，g′（x）=

a(x-1)(x- 2-a a )

x2

①当0＜a＜1时，

2-a

a

＞1，若1＜x＜

2-a

a

，则g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）减函数，所以g（x）＜g（1）=0，即f（x）＜2lnx在[1，+∞）上恒成立；
②a≥1时，

2-a

a

≤1，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函数，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．
综上所述，所求的取值范围是[1，+∞）；
（3）证明：取a=1得f（x）=x-

1

x

，所以a_n+1=f（a_n）+2-a_n=2-

1

an

∴a_n+1-1=

an-1

an

，∴

1

an+1-1

=

1

an-1

+1
∴{

1

an-1

}是等差数列，首项为

1

a1-1

=1，公差为1，
∴

1

an-1

=n，∴an=

n+1

n

∴a₁•a₂•…a_n=

2

1

•

3

2

•…•

n+1

n

=n+1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．