Question

设函数，
（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）试用函数的单调性的定义证明函数f（x）在区间（0，a]单调递减；
（3）试判断（不必证明）函数f（x）在定义域上的单调性．

Answer 1

解：（1）证明：因为f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且，
故f（x）是奇函数；
（2）证明：设0＜x₁＜x₂≤a，则．
因为0＜x₁＜x₂≤a，所以0＜x₁x₂＜a²，从而且x₁-x₂＜0，故f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
因此函数f（x）在区间（0，a]上单调递减；同理可以证明函数f（x）在区间[a，+∞）上单调递增；
（3）∵f（x）是奇函数；在区间（0，a]上单调递减，在区间[a，+∞）上单调递增；
∴函数f（x）在区间（-∞，-a]上单调递增，在区间[-a，0）上单调递减，
综上所述：函数f（x）在区间（-∞，-a]上单调递增，在区间[-a，0）上单调递减，在（0，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增．
分析：（1）利用奇函数的定义f（-x）=-f（x）可判断函数f（x）是奇函数；
（2）可设0＜x₁＜x₂≤a，然后作差后化为乘积，，结合题意讨论每个因式的符号，利用单调性的定义即可证明函数f（x）在区间（0，a]上单调递减；
（3）利用函数f（x）是奇函数，在区间（0，a]上单调递减；在[a，+∞）上单调递增；从而可判断在对称区间上具有相同的单调性．
点评：本题考查函数奇偶性的判断，着重考查学生对定义法判断函数奇偶性与单调性的掌握，及对函数性质的理解与应用，属于中档题．