Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点．

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明，；（2）向量法：先求平面的法向量，然后利用公式求直线与平面所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面和平面的法向量，再利用公式来求二面角的余弦值．

依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，由点为棱的中点，得．

（1）向量，，故． ∴．

（2）向量，设为平面的法向量，则，即，

不妨令，可得为平面的一个法向量．

于是有，

∴直线与平面所成角的正弦值为．

（3），

由点在棱上，故，

由，得，解得，即．

设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量．取平面的法向量，则．

易知，二面角是锐角，∴其余弦值为．