Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB1上一点，且平面DA1C⊥平面AA1C1C．
（1）求证：D点为棱BB1的中点；
（2）判断四棱锥A1﹣B1C1CD和C﹣A1ABD的体积是否相等，并证明．

Answer 1

【答案】
（1）过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF，EF．

∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C，面DA1C内的直线DE⊥A1C，

∴DE⊥面AA1C1C．

又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC，且△ABC为等腰三角形，易知BF⊥AC，

∴BF⊥面AA1C1C．由此知：DE∥BF，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1∥面AA1C1C，

故有DB∥EF，从而有EF∥AA1，又点F是AC的中点，

所以 ，所以D点为棱BB1的中点．

（2）相等．证明：ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，

∴BB1⊥A1B1，BB1⊥BC，

又A1B1⊥B1C1，BC⊥AB，

∴A1B1⊥平面B1C1CD，BC⊥平面A1ABD（9分）

∴

∵D为BB1中点，

∴ =

【解析】分析：（1）过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF，EF，推出 ，即可证明D点为棱BB1的中点；（2）求出四棱锥A1﹣B1C1CD的底面面积和高，再计算C﹣A1ABD的体积，即可判断体积相等．
【考点精析】掌握平面与平面垂直的性质是解答本题的根本，需要知道两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．