Question

设{a_n}为等差数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₇=7，S₁₅=75．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=2an+3，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）设出等差数列的首项和公差，然后利用待定系数法根据S₇=7，S₁₅=75求出数列的通项公式即可；
（2）首先根据（1）求出数列{b_n}的通项公式，然后采取分组法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则Sn=na1+

1

2

n(n-1)d（1分）
∵S₇=7，S₁₅=75，
∴

7a1+21d=7 15a1+105d=75

（3分）
即

a1+3d=1 a1+7d=5

解得a₁=-2，d=1（5分）
∴数列a_n的通项公式为a_n=n-3（6分）
（2）bn=2an+n=2n-3+n=

1

8

×2n+n，
则T_n=b₁+b₂+b₃++b_n=(

1

8

×21+1)+(

1

8

×22+2)+(

1

8

×23+3)++(

1

8

×2n+n)=

1

8

×(21+22+23+2n)+(1+2+3+n)
=

1

8

×(2n+1-2)+

n(n+1)

2

=

1

4

×(2n-1)+

n(n+1)

2

（12分）

点评：本题主要考查等差数列的前n项和的公式以及数列的求和，解题的方法是利用待定系数法，对于等比与等差和的形式的数列，一般采取分组法求前n项和，属于基础题．