Question

设函数f(x)=a(x+

1

x

)+2lnx，g(x)=x2．
（I）若a＞0且a≠2，直线l与函数f（x）和函数g（x）的图象相切于一点，求切线l的方程．
（II）若f（x）在[2，4]内为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，两次求出的斜率相等列出关于切点的横坐标x的方程，求出切点的坐标，根据得出的切点坐标，同时由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和切线过原点写出切线方程即可．
（Ⅱ）通过解f′（x），求其单调区间，转化为恒成立问题求a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=a(1-

1

x2

)+

2

x

=

ax2+2x-a

x2

，∴g'（x）=2x
因为直线l与函f（x），g（x）的图象相切于同一点

ax2+2x-a

x2

=2x（4分）
解得x=1，x=

a

2

（a≠2），（x=-1舍去）f'（1）=2，f（1）=2a；
f′(

a

2

)=a，f(

a

2

)=

a2

4

g'（1）=2，g（1）=1；g′(

a

2

)=a，g(

a

2

)=

a2

4

①当x=1时，则l的方程为：y=2x-1
②当x=

a

2

时，又因为点（

a

2

，

a2

4

)也在f（x）
有a(

a

2

+

2

a

)+2ln

a

2

=

a2

4

即ln

a

2

+

a2

8

+1=0
令h(x)=ln

a

2

+

a2

8

+1，h(

2

e2

)•h(2e2)＜0
易得方程在a＞0且a≠2一定有解
所以l的方程为y=ax-

a2

4

(a＞0，a≠2)
综上所述直线l的方程为y=2x-1或y=ax-

a2

4

(a＞0，a≠2)（6分）
（Ⅱ）∵f′(x)=a(1-

1

x2

)+

2

x

=

ax2+2x-a

x2

要使f（x）在[2，4]为单调增函数，在[2，4]恒成立，
即

ax2+2x-a

x2

≥0在[2，4]恒成立，即ax²+2x-a≥0在[2，4]恒成立，
又a（x²-1）≥-2x即a≥

2x

1-x2

=

2

1 x -x

（2≤x≤4）（8分）
设u(x)=

1

x

-x（2≤x≤4），因为u′(x)=-

1

x2

-1（x＞0）所以u（x）在（0，+∞）上单调递减．
∴f′（x）-

8

15

≥

2x

1-x2

=

2

1 x -x

≥-

4

3

所以当a≥-

8

15

时在[2，4]为单调增函数；（10分）
同理要为单调减函数，在[2，4]恒成立，
易得a≤-

4

3

，综上，f（x）在[2，4]为单调函数，则a的取值范围为a≤-

4

3

或a≥-

8

15

（12分）

点评：对于已知函数单调性，求参数范围问题的常见解法；设函数f（x）在（a，b）上可导，若f（x）在（a，b）上是增函数，则可得f′（x）≥0，从而建立了关于待求参数的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是减函数，，则可得f′（x）≤0．