Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+1）^{2}，x≤0}\\{\frac{lnx}{{x}^{2}}，x＞0}\end{array}\right.$，若函数y=f（f（x）+m）有五个零点，则实数m的取值范围是（1-$\frac{1}{2e}$，1）∪（-1-$\frac{1}{2e}$，-1）．

Answer 1

分析 求出x＞0函数f（x）的导数，求得单调区间，求得最值，画出f（x）的图象，令t=f（x）+m，即有f（t）=0，解得t=-1或1，当t=-1时，f（x）=-1-m；t=1时，f（x）=1-m，通过图象观察，可得m的不等式，即可得到所求范围．

解答 解：当x＞0时，f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$的导数为：
f′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，
当x＞$\sqrt{e}$时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当0＜x＜$\sqrt{e}$时，f′（x）＞0，f（x）递增．
即有x=$\sqrt{e}$处取得最大值，且为$\frac{1}{2e}$，
画出f（x）的图象，如右图：
令t=f（x）+m，即有f（t）=0，解得t=-1或1，
当t=-1时，f（x）=-1-m；
t=1时，f（x）=1-m，
由题意结合图象可得，
$\left\{\begin{array}{l}{-1-m＜0}\\{0＜1-m＜\frac{1}{2e}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜-1-m＜\frac{1}{2e}}\\{1-m＞1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1-m=\frac{1}{2e}}\\{\frac{1}{2e}＜1-m＜1}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{m＞-1}\\{1-\frac{1}{2e}＜m＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1-\frac{1}{2e}＜m＜-1}\\{m＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-1-\frac{1}{2e}}\\{0＜m＜1-\frac{1}{2e}}\end{array}\right.$，
解得1-$\frac{1}{2e}$＜m＜1或-1-$\frac{1}{2e}$＜m＜-1．
故答案为：（1-$\frac{1}{2e}$，1）∪（-1-$\frac{1}{2e}$，-1）．

点评 本题考查的知识点是函数零点的判定，其中将函数的零点问题转化为方程根的个数问题，是解答的关键．