Question

13．△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知：a，b，c成等比数列  
（1）求角B的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得不等式（x+3+sin2B）²+[x+$\sqrt{2}$msin（B+$\frac{π}{4}$）]²≥$\frac{1}{8}$对任意的实数x及满足已知条件的所有角B都成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得b²=ac，由余弦定理及基本不等式可得cosB≥$\frac{1}{2}$，结合范围B∈（0，π），即可解得角B的取值范围．
（2）令t=sinB+cosB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），由B∈（0，$\frac{π}{3}$]，解得t∈（1，$\sqrt{2}$]且2sinBcosB=t²-1，由题意（x+t²+2）²+（x+mt）²=（x+t²+2）²+（-x-mt）²≥$\frac{（x+{t}^{2}+2-x-mt）^{2}}{2}$=$\frac{（{t}^{2}+2-mt）^{2}}{2}$恒成立，仅当x+t²+2=-x-mt，即存在x=$\frac{-{t}^{2}-mt-2}{2}$使“=”成立，即只要$\frac{（{t}^{2}+2-mt）^{2}}{2}$$≥\frac{1}{8}$在t∈（1，$\sqrt{2}$]上恒成立，从而可解得m的取值范围．

解答 解：（1）由已知：a，b，c成等比数列，得b²=ac，
在△ABC中，由余弦定理：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$≥$\frac{2ac-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当a=c时，“=”成立，…（3分）
又∵B∈（0，π），∴角B的取值范围为（0，$\frac{π}{3}$]…（5分）
（2）存在满足条件的实数m，取值范围为（-∞，$\sqrt{6}$]∪[$\frac{7}{2}$，+∞）．
证明：由题意可得：（x+3+2sinBcosB）²+[x+m（sinB+cosB）]²≥$\frac{1}{8}$对任意的实数x及满足已知条件的所有角B恒成立，
令t=sinB+cosB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），
∵B∈（0，$\frac{π}{3}$]，∴B+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，∴sin（B+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴t∈（1，$\sqrt{2}$]且2sinBcosB=t²-1，…（7分）
∴由已知（x+t²+2）²+（x+mt）²$≥\frac{1}{8}$对任意实数x及所有t∈（1，$\sqrt{2}$]上恒成立，
而（x+t²+2）²+（x+mt）²=（x+t²+2）²+（-x-mt）²≥$\frac{（x+{t}^{2}+2-x-mt）^{2}}{2}$=$\frac{（{t}^{2}+2-mt）^{2}}{2}$恒成立，
仅当x+t²+2=-x-mt，即存在x=$\frac{-{t}^{2}-mt-2}{2}$使“=”成立，
∴只要$\frac{（{t}^{2}+2-mt）^{2}}{2}$$≥\frac{1}{8}$在t∈（1，$\sqrt{2}$]上恒成立     …（9分）
∴2t²-2mt+5≤0或2t²-2mt+3≥0，
即m$≥t+\frac{5}{2t}$或m$≤t+\frac{3}{2t}$，关于t∈（1，$\sqrt{2}$]上恒成立，
令g（t）=t+$\frac{5}{2t}$在t∈（1，$\sqrt{2}$]为减函数，∴g（t）＜g（1）=1+$\frac{5}{2}$=$\frac{7}{2}$，
令φ（t）=t+$\frac{3}{2t}$$≥2\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{6}$，当且仅当t=$\frac{3}{2t}$，即t=$\sqrt{\frac{3}{2}}∈（1，\sqrt{2}]$时，“=”成立
∴m$≥\frac{7}{2}$或m$≤\sqrt{6}$满足条件，
∴存在满足条件的实数m，取值范围为（-∞，$\sqrt{6}$]∪[$\frac{7}{2}$，+∞）．…（12分）

点评 本小题主要考查函数单调性的应用、余弦定理的应用，等比数列的性质的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．