Question

【题目】已知函数），记的导函数为.

（1） 证明：当时， 在上的单调函数；

（2）若在处取得极小值，求的取值范围；

（3）设函数的定义域为，区间.若在上是单调函数，则称在上广义单调.试证明函数在上广义单调.

Answer 1

【答案】（1）在上单调递增.（2）（3）见解析

【解析】【试题分析】（１）借助题设条件运用导数与函数的单调性之间的关系判定；（２）依据题设条件运用极值的定义进行分析探求；（３）构造函数运用导数知识分析推证：

解：(1)当时， ，即， 在上单调递增.

(2) . ①当时， ，所以函数在上单调递增.若，则；若，则，所以函数的单调增区间是，单调减区间是，所以在处取得极小值，符合题意.②当时， ，所以函数在上单调递减.若，则；若，则，所以的单调减区间是，单调增区间是，所以在处取得极大值，不符合题意. ③当时， ，使得，即，但当时， ，即，所以函数在上单调递减，所以，即函数在单调递减，不符合题意.综上所述， 的取值范围是.

（3）记. ①若，注意到，则，即， 当时， .

所以，函数在上单调递增.②若，当时， ，所以，函数在上单调递减，综上所述，函数在区间上广义单调.