Question

18．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤0}\\{lo{g}_{0.5}x，x＞0}\end{array}\right.$，则下列说法正确的是（　　）
①若a≤0，则f（f（a））=-a；
②若f（f（a））=-a，则a≤0；
③若a≥1，则f（f（a））=$\frac{1}{a}$；
④若f（f（a））=$\frac{1}{a}$，则a≥1．

• A． ①③
• B． ②④
• C． ①②③
• D． ①③④

Answer 1

分析 根据已知中函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤0}\\{lo{g}_{0.5}x，x＞0}\end{array}\right.$，逐一分析给定四个结论的真假，可得答案．

解答 解：当a≤0时，则f（f（a））=${log}_{0.5}{2}^{a}$=-a，故①正确；
当a≥1时，f（f（a））=${2}^{{log}_{0.5}a}$=$\frac{1}{a}$，故③正确；
当0＜a＜1，f（f（a））=log_0.5（log_0.5a）∈R，
故此时存在0＜a＜1，使得f（f（a））=-a也存在0＜a＜1，使得f（f（a））=$\frac{1}{a}$，
故②④错误；
故选：A

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，指数函数和对数函数的图象和性质，难度中档．