Question

已知函数f（x）=

2

sin2xcos2x-

6

cos²2x+

6

2

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的最大值与最小值，以及函数取得最值时x的集合；
（3）函数如何从y=sinx的图象得到的？

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：首先将函数化为正弦型f（x）=

2

sin（4x-

π

3

），
（1）根据ω=4，f（x）的最小正周期；
（2）当4x-

π

3

=2kπ-

π

2

，f（x）取最小值为-

2

；当4x-

π

3

=2kπ+

π

2

，f（x）取最大值为

2

，进而可函数取得最值时x的集合；
（3）利用正弦型函数图象变换规律可得从y=sinx的图象得到函数图象的变换方式；

解答： 解：（1）f（x）=

2

sin2xcos2x-

6

cos²2x+

6

2

=

2

2

sin4x-

6

2

cos4x=

2

sin（4x-

π

3

）
∵ω=4，
∴f（x）得最小正周期为T=

2π

4

=

π

2

；…4分
（2）当4x-

π

3

=2kπ-

π

2

，即x∈{x|x=

1

2

kπ-

π

24

，k∈Z}时，f（x）取最小值为-

2

；
当4x-

π

3

=2kπ+

π

2

，即x∈{x|x=

1

2

kπ+

5π

24

，k∈Z}时，f（x）取最大值为

2

；…8分
（3）将函数y=sinx的图象向右平移

π

3

单位，
再将得到的函数图象上所有的点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的

1

4

倍，
再将得到的函数图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的

2

倍，
可得到函数f（x）的图象．…12分．

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，求值，图象变换规律，均属常规知识和必备能力．