Question

已知函数f（x）=ax²-2x+a-1，a∈R
（1）若函数f（x）满足f（1-x）=f（1+x），求实数a的值；
（2）若函数f（x）在区间[

1

2

，2]上总是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）在区间[

1

2

，2]上有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数满足f（1-x）=f（1+x），关于x=1对称，再求出函数f（x）=ax²-2x+a-1，的对称轴令其相等即可求出a值；
（2）函数f（x）在区间[

1

2

，2]上总是单调函数，讨论a=0，或a≠0的情况，讨论二次函数的图象及其对称轴，从而进行求解；
（3）函数f（x）在区间[

1

2

，2]上有零点，讨论a=0和a≠0的情况，a≠0时，讨论有几个零点可以有一个也可以有两个，利用转化的思想将问题转化为求函数的值域的问题；

解答：解：（1）∵函数f（x）=ax²-2x+a-1，a∈R，
∵函数f（x）满足f（1-x）=f（1+x），∴f（x）关于直线x=

1-x+1+x

2

=1对称，
因为f（x）的对称轴为x=-

-2

2a

，
∴-

-2

2a

=1，解得a=1；
（2）∵函数f（x）在区间[

1

2

，2]上总是单调函数，
若a=0，可得f（x）=-2x-1，是单调减函数，满足题意；
若a≠0可得，f（x）=ax²-2x+a-1，a∈R
对称轴为：x=-

-2

2a

=

1

a

，要使函数f（x）在区间[

1

2

，2]上总是单调函数，可得

1 a ≤ 1 2 1 a ≥2

解得a≥2或a＜0或0＜a≤

1

2

，
综上可得：a≤

1

2

或a≥2；
（3）当a=0时，令f（x）=0解得x=-

1

2

不在区间[

1

2

，2]上，不满足题意；
当a≠0时，函数f（x）=ax²-2x+a-1在区间[

1

2

，2]上有零点?a（x²+1）=1+2x在区间[

1

2

，2]上有解，
?a=

1+2x

1+x2

在区间[

1

2

，2]上有解，问题转化为函数y=

1+2x

1+x2

在区间[

1

2

，2]上的值域，
设t=1+2x∈[2，5]，g（t）=递减，t∈（

5

，5），g（t）递增，
事实上，设0＜t₁＜t₂＜

5

，则g（t₁）-g（t₂）=（t₁+

5

t1

）-（t₂+

5

t2

）=

(t1-t2)(t1t2-5)

t1t2

，
由0＜t₁＜t₂＜

5

，得t₁-t₂＜0，0＜t₁t₂＜5，即g（t₁）-g（t₂）＞0
所以g（t）在（2，

5

）上单调递减，同理得g（t）在（

5

，5）上单调递增，又g（5）=6＞g（2）=4.5，
故g（

5

）≤g（t）≤g（5），
∴2

5

≤g（t）≤6，，0＜2

5

-2≤g（t）-2≤4，
∴1≤

4

g(t)-2

≤

4

2 5 -2

，1≤

4

g(t)-2

≤

5 +1

2

，
∴y∈[1，

5 +1

2

]
故实数a的取值范围为[1，

5 +1

2

]．…（14分）

点评：此题主要考查二次函数的性质及零点问题，考查的知识点比较多，解题过程中用到了转化的思想，这是高考常考的热点问题，此题是一道中档题；