Question

18．在△ABC中，BC=7，AC=6，cosC=$\frac{{2\sqrt{6}}}{7}$．若动点P满足$\overrightarrow{AP}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2λ}{3}$$\overrightarrow{AC}$，（λ∈R），则点P的轨迹与直线BC，AC所围成的封闭区域的面积为（　　）

• A． 5
• B． 10
• C． 2$\sqrt{6}$
• D． 4$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．

解答 解：设$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AP}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2λ}{3}$$\overrightarrow{AC}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AD}$
∴B，D，P三点共线．
∴P点轨迹为直线BC．
在△ABC中，BC=7，AC=6，cosC=$\frac{{2\sqrt{6}}}{7}$，
∴sinC=$\frac{5}{7}$
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×7×6×$\frac{5}{7}$=15，
∴S_△BCD=$\frac{1}{3}$S_△ABC=5．
故选：A

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，正弦定理解三角形，属于中档题．