Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足a1=m，an+1=λan+n，bn=an-

2n

3

+

4

9

．
（1）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{a_n}一定不是等差数列；
（2）当λ=-

1

2

时，试判断{b_n}是否为等比数列．

Answer 1

分析：（1）要证明{a_n}不是等差数列，只须证明a₁+a₃≠2a₂，利用反证法即可完成；
（2）要判断{b_n}是否为等比数列，只须紧扣等比数列的定义，证明bn+1：bn=同一个常数，注意对b₁≠0的讨论．

解答：解：（1）当m=1时，a₁=1．a₂=λ+1，a₃=λ（λ+1）+2=λ²+λ+2
假设{a_n}是等差数列，由a₁+a₃=2a₂，
得λ²+λ+3=2（λ+1），
即λ²-λ+1=0，
∴△=-3＜0，
∴方程无实根．
故对于任意的实数λ，{a_n}一定不是等差数列．
（2）当λ=-

1

2

时，an+1=-

1

2

an+n，bn=an-

2n

3

+

4

9

bn+1=an+1-

2(n+1)

3

+

4

9

=(-

1

2

an+n)-

2(n+1)

3

+

4

9

=-

1

2

an+

n

3

-

2

9

=-

1

2

(an-

2n

3

+

4

9

)=-

1

2

bn又b1=m-

2

3

+

4

9

=m-

2

9

，
∴当m≠

2

9

时，{bn}是以m-

2

9

为首项，-

1

2

为公比的等比数列，
当m=

2

9

时，{bn}不是等比数列．

点评：判断一个数列是等差数列或等比数列的常规方法是根据定义判断，而判断一个数列不是等差数列或等比数列，则只须证明其中的前三项构不成等差或等比关系即可．