Question

已知f（x）=Asin（ωπx+?）（A＞0，ω＞0，0＜?＜π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…f（2011）的值是（　　）

• A、-

  2012 2

  π

• B、

  2012 2

  π

• C、1
• D、0

Answer 1

分析：求出函数的导函数，利用导函数的图象求出A、T、以及?，确定函数的解析式，然后推出f（0），f（1），f（2），f（3），…，f（2011）是以4为周期的周期数列，且f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0得到正确选项．

解答：解：函数f（x）=Asin（ωπx+?）（A＞0，ω＞0，0＜?＜π），其导函数f′（x）=Aωπcos（ωπx+?），
所以Aωπ=2  T=4，所以ωπ=

2π

T

ω=

1

2

   A=

4

π

  因为导数图象过（

1

2

，0），所以0=2cos（

π

4

+?），所以?=

π

4

，
f（x）=

4

π

sin（

1

2

πx+

π

4

），f（0）=

2

π

，f（1）=

2

π

，f（2）=-

2

π

，f（3）=-

2

π

，f（4）=

2

π

，…
所以f（0），f（1），f（2），f（3），…，f（2011）是以4为周期的周期数列，且f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，
所以f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=0
故选D

点评：本题是中档题，考查三角函数的导数的求法，三角函数的解析式的求法，数列的知识，是综合题目，注意图象的信息的应用．