Question

（2011•东城区一模）已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形．∠BCD=60°，AB=PB=PD=2，PC=

3

，AC与BD交于O点，E，H分别为PA，OC的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：PH⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为E，O分别为PA，AC的中点，所以EO∥PC．由此能够证明PC∥平面BDE．
（Ⅱ）连接OP，因为PB=PD，所以OP⊥BD．在菱形ABCD中，BD⊥AC，又因为OP∩AC=O，所以BD⊥平面PAC．又PH?平面PAC，所以BD⊥PH．由此能够证明PH⊥平面ABCD．
（Ⅲ）过点O作OZ∥PH，所以OZ⊥平面ABCD．以O为原点，OA，OB，OZ所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．得

AB

=(-

3

，1，0)，

AP

=(-

3 3

2

，0，

3

2

)，

CE

=(

5 3

4

，0，

3

4

)．设

n

=（x，y，z）是平面PAB的一个法向量，由

n • AB =0 n • AP =0

，得

n

=(1，

3

，

3

)．由此能求出直线CE与平面PAB所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：因为E，O分别为PA，AC的中点，
所以EO∥PC
又EO?平面BDE，PC?平面BDE．
所以PC∥平面BDE．
（Ⅱ）证明：连接OP，
因为PB=PD，
所以OP⊥BD．
在菱形ABCD中，BD⊥AC，
又因为OP∩AC=O，所以BD⊥平面PAC．
又PH?平面PAC，所以BD⊥PH．
在直角三角形POB中，OB=1，PB=2，所以OP=

3

．
又PC=

3

，H为OC的中点，所以PH⊥OC．
又因为BD∩OC=O
所以PH⊥平面ABCD．
（Ⅲ）解：过点O作OZ∥PH，所以OZ⊥平面ABCD．
如图，以O为原点，OA，OB，OZ所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
可得，A(

3

，0，0)，B（0，1，0），C(-

3

，0，0)，
P(-

3

2

，0，

3

2

)，E(

3

4

，0，

3

4

)．
所以

AB

=(-

3

，1，0)，

AP

=(-

3 3

2

，0，

3

2

)，

CE

=(

5 3

4

，0，

3

4

)．
设

n

=（x，y，z）是平面PAB的一个法向量，
则

n • AB =0 n • AP =0

，即

- 3 x+y=0 - 3 3 2 x+ 3 2 z=0

，
令x=1，则

n

=(1，

3

，

3

)．．
设直线CE与平面PAB所成的角为θ，
sinθ=cos＜n，

CE

 ＞=

4

7

．
所以直线CE与平面PAB所成角的正弦值为

4

7

．

点评：本题考查直线和平面平行、直线和平面垂直的证明方法和求直线与平面在所成角的正弦值．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．